In questi video è rappresentata una tra le formule più interessanti che l’essere umano abbia conosciuto. Formula derivata della Sequenza di Fibonacci o Successione di Fibonacci ed è spesso citata anche come la rappresentazione della Proporzione Divina, una costante matematica che lega tutti gli elementi costituiti dalla natura. Tale costante viene chiamata anche Numero Aureo, Sezione Aurea, Costante di Fidia e in diversi altri modi. Nei fatti tutte queste definizioni si riferiscono alla medesima equazione.
Chi pensa che la matematica non c’entri nulla con il mondo reale si sbaglia di grosso. Con buona pace di chi proprio non sopporta numeri, operazioni e figure geometriche, tutto ciò che ci circonda ha a che fare con la matematica. Persino l’arte.
Come tante altre regole matematiche oggi correntemente in uso, il presupposto ci dice: se Dio esiste è un matematico.
Sì, sto anche citando un libro di Mario Livio, ma è così tanto vero quel titolo.
La Sequenza di Fibonacci e la Sezione Aurea
La Sequenza di Fibonacci rappresenta matematicamente il rapporto di proporzione che si cela in innumerevoli progetti della natura. Forse tutti, almeno quelli relativi alla materia, che essa sia organica o meno.
Calcolarla è assolutamente banale, ma pensare che nasca tutto dalla semplice Sequenza di Fibonacci è ancora più incredibile: 0+0=0, 0+1=0, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8, 8+5=13, 13+8=21, 21+13=34, 34+21=55, 55+34=89, 89+55=144…
In ogni caso, ciò che ci ha saldamente insegnato è una regola ferrea, ossia che: che più la Sequenza di Fibonacci aumenta nel numero e più conferma di attestarsi su un rapporto di 1,6180. Questo numero, essendo veramente unico e particolare, prende diversi nomi, tra cui Phi, Sezione Aurea, Proporzione Divina, Numero Aureo.
Un altro modo per definire la sezione aurea è prendere un numero a e un numero b, e dire che a+b sta ad a come a sta a b. La Sequenza di Fibonacci si spiega così ad un matematico. Il rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea è il cosiddetto numero aureo. Tale numero racconta che tutte le cose che ci circondano sono fondate su una proporzione comune.
Una delle regole più importanti dell’Universo è stata portata come un dono dall’oriente, insieme ai numeri arabi in Europa nel 1202, dal figlio di un mercante. Leonardo Pisano (noto storicamente come Leonardo Fibonacci, abbreviazione di filius Bonacci, cioè “figlio di Bonaccio”) che in questo anno pubblicò la sua opera fondamentale, il Liber Abaci.
Prendete qualunque cosa vi circondi a qualunque scala. Che sia la distanza tra due cellule o la loro disposizione. La struttura di un albero o di un fiore. Le forma stessa della galassia o il flusso di un plasma. Il tasso di riproduzione dei conigli e qualunque altra proporzione determinata dalla natura. Qualunque di queste nel loro rapporto interno risponderà sempre al numero irrazionale 1,6180339887… metto i puntini perché alcuni scienziati non hanno ancora terminato di calcolare i numeri dopo la virgola.
Sebbene non sia improbabile che la sua applicazione possa celare costrutti e sostegni in altre teorie, come l’evoluzione, l’economia o la legge del caos, ad esempio, al momento questa branca di studio si è evoluta a partire dalla ricerca dell’estensione nei suoi numeri dopo la virgola e altri schemi e spettri nella ripetizione.
Si potrebbe pensare che la scienza possa snobbare questa sequenza di fibonacci e il risultante numero aureo, data la sua semplicità. Il numero aureo invece (\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618) non è affatto snobbato dai matematici, ma è anzi oggetto di rigorosi studi scientifici in ambiti complessi come la fisica quantistica, la finanza statistica e la botanica matematica. Questo solo per citare alcuni tra i progetti più ambiziosi. La percezione che sia una “formulina banale” nasce dalla divulgazione pop che lo riduce a un mero canone estetico, ma la realtà scientifica è radicalmente diversa.
Tutto è numero
Pitagora
Ma cosa rende così speciale la sezione aurea?
Il motivo di tanta ammirazione in questa proporzione sta nel fatto che è universalmente riconosciuta come ideale di bellezza e armonia.
Il rapporto aureo è alla base di molte delle forme più armoniose della natura. Lo stesso nome, “aureo”, indica il senso di armonia e di perfezione generato dalle forme che si basano su questo numero nel nostro cervello.
Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell’uomo la conferma dell’esistenza di un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all’infinito attraverso infinite suddivisioni. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell’ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.
La sezione aurea in natura
In natura il rapporto aureo compare nei contesti più disparati. Per esempio nel meccanismo di crescita delle conchiglie o nella “fillotassi”, l’ordine con cui le varie entità botaniche si distribuiscono nello spazio: così le foglie sui rami o i semi nei girasoli, oppure la struttura delle pigne e dei cavoli. La proporzione aurea è presente anche nel corpo umano: per esempio, in un corpo atletico, il rapporto della lunghezza del braccio e dell’avanbraccio, oppure dell’altezza e della misura all’ombelico.
La sezione aurea in natura assume spesso la forma della spirale costruita su rettangoli che seguono il rapporto 1,618:1. La spirale aurea è infatti una spirale di tipo logaritmico che cresce seguendo un cosiddetto fattore di accrescimento pari a Phi.
La sezione aurea AP di un segmento AB genera una nuova sezione aurea: il segmento residuale PB è infatti a sua volta sezione aurea di AP. Analogamente, togliendo a un rettangolo aureo un quadrato, si ottiene un nuovo rettangolo aureo. Tali proprietà ricorsive sono alla base della presenza della sezione aurea in molti fenomeni naturali.
Alcuni esempi della spirale aurea in natura possono essere alcune forme di conchiglie, la disposizione degli stami dei fiori, la forma delle galassie e dei cicloni e tantissime altre.
Una molecola di DNA misura 34 angstrom di 21 angstrom ad ogni ciclo completo della spirale a doppia elica. Nella serie di Fibonacci, 34 e 21 sono numeri successivi.
In anatomia si trova la sezione aurea nel rapporto tra l’altezza di un individuo e la distanza del suo ombelico da terra.
La misurazione dall’ombelico umano ai piedi rapportata alla misura dalla sommità della testa all’ombelico corrisponde al numero aureo. Così per la lunghezza delle nostre dita, ciascuna sezione dalla punta della base al polso è più grande della precedente di circa il rapporto di phi. Idem il rapporto tra le braccia nella loro intera lunghezza rapportate alla lunghezza tra la punta delle dita fino al gomito corrispondono ancora al numero aureo. Ma non siamo gli unici esempi della sezione aurea nel regno animale; delfini, stelle marine, ricci di mare, formiche e api. Tutti mostriamo la medesima proporzione.
In botanica, per esempio, quando si forma un nuovo singolo organo, quale una foglia, questo, per non essere oscurato, si dispone a una distanza angolare dal precedente costante e pari a circa un angolo aureo.
Il modo in cui i rami degli alberi si formano o si dividono è un esempio della sequenza di Fibonacci. I sistemi radicali e le alghe mostrano lo stesso modello di formazione. Così la crescita dei semi nei girasoli e le spire dorate dei suoi petali. Possiamo darlo per assodato e verificarlo continuamente, anche adesso: i petali di qualunque fiore, semi, rami, foglie, radici, tutti riportano fedelmente questa proporzione aurea.
La sezione aurea nell’arte
La sezione aurea, che Luca Pacioli denominò divina proporzione e di cui illustrò le caratteristiche in un testo del 1509 (De divina proportione), ha attratto, a partire del rinascimento, l’attenzione non soltanto dei matematici, ma anche di pittori, scultori e architetti come canone di armonia e bellezza (→architettura e matematica; → arte e matematica). In particolare, nell’essere umano, il rapporto tra l’altezza totale e l’altezza dall’ombelico a terra è 1,618. Lo sapevano bene Vitruvio prima e Leonardo Da Vinci con il suo famoso “Uomo Vitruviano“, dove hanno applicato con estrema semplicità la Sequenza di Fibonacci. Un tipico esempio è la riproposizione leonardesca del canone di rappresentazione della figura umana di Vitruvio, che colloca l’ombelico in una posizione tale da determinare la sezione aurea dell’intera figura.
Molte attribuzioni di proporzioni auree a capolavori dell’arte o dell’architettura (per esempio a parti del viso della Gioconda di Leonardo da Vinci) appaiono forzate e non documentate. Si può azzardare che nella Gioconda di Leonardo il rapporto aureo è stato individuato nella disposizione dei lineamenti del viso, nell’area che va dal collo a sopra le mani e in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani. Nella Venere del Botticelli troviamo anche qui alcune delle proporzioni auree che spesso vengono usate come esempio pratico dell’utilizzo nell’ambito artistico.
La sezione aurea nell’architettura
La bellezza della natura è sempre stata di esempio per le opere realizzate dall’uomo. Per tale ragione l’uomo ha sempre utilizzato la sezione aurea per calcolare le proporzioni armoniose tra le varie parti degli edifici o delle statue rappresentanti le figure umane.
Nelle opere d’arte viene spesso usato il rettangolo aureo, la cui base è la sezione aurea dell’altezza. In pratica, se l’altezza è pari a 1, la base è 0,618.
Nel xx secolo l’architetto svizzero Le Corbusier propose uno schema costruttivo per le abitazioni in armonia con le proporzioni del corpo umano denominato Modulor e basato su rapporti aurei. Anche nella facciata del Palazzo dell’Onu a New York, al cui progetto ha partecipato Le Corbusier, si trovano rettangoli aurei.
In architettura, il Partenone di Atene, ad esempio, presenta una facciata perfettamente inscrivibile nelle proporzioni di un rettangolo aureo (ossia un rettangolo costruito in base alle “regole” della sezione aurea).
Usare la sezione aurea per il design
Probabilmente sorprenderà qualcuno sapere che molte delle cose che ci circondano e che hanno resistito nel tempo, rientrano nelle regole auree fino a qui descritte. Sono rettangoli aurei persino le carte da gioco napoletane e con esse molte tessere di uso comune (carte di credito, bancomat ecc). Intorno a noi esistono tantissimi rettangoli, triangoli, pentagoni, cubi e parallelepipedi aurei, probabilmente ne possediamo alcuni e anzi ne indossiamo qualcuno in questo istante..
L’applicazione nel design della Sezione Aurea può apparire molto più difficile di quello che è in realtà. Esistono alcuni trucchetti che possono migliorare i progetti senza dover passare molte ore ad effettuare calcoli con la Sequenza di Fibonacci. Vediamo quali sono.
La regola dei terzi
La regola dei terzi consiste nel suddividere la pagina, la foto o il layout su cui si sta lavorando in tre parti verticali e in tre parti orizzontali.
I 4 punti in cui queste linee si incontreranno saranno quelli su cui andrà focalizzata l’attenzione.
Il motivo di tale operazione è dato dal fatto che così ragiona il cervello umano. Inconsciamente siamo abituati a suddividere quello che vediamo in aree di interesse in base a come sono strutturate e a concentrarci sui punti focali posizionati nell’area centrale di quello che vediamo.
Usare la griglia della spirale aurea
Un altro metodo per implementare la sezione aurea è utilizzare le forme e le griglie della stessa.
Ad esempio costruire delle grafiche basandosi sulla spirale aurea vista prima o sulla divisione dell’area di lavoro in base ai rettangoli e alle proporzioni del rapporto aureo.
La sezione aurea nel logo design
Una delle applicazioni più comuni e più utilizzate è all’interno del graphic design, e in particolare nella costruzione dei loghi. Creare un logo non è una cosa semplice, esistono delle regole, ed esistono pure delle possibili applicazioni di formule geometriche come appunto quella del rapporto aureo.
Di esempi di loghi costruiti seguendo i principi e le forme del rapporto aureo ce ne sono moltissimi. Prendiamo in esame un logo che tutti conoscono: il logo dell’azienda Apple.
Il logo della Apple è composto interamente da cerchi i cui raggi danno i numeri della successione di Fibonacci o Sequenza di Fibonacci.
La sezione aurea nella fotografia
Anche nella fotografia si possono applicare le stesse regole che si applicano alla grafica e al design. In particolare è molto utile la regola dei terzi. Ad esempio una regola non scritta per quando si fotografa frontalmente un viso è quella di far stare gli occhi all’altezza dei due punti di incrocio superiori.
Le forme, in particolar modo la spirale aurea, possono anche essere utilizzate per creare fotografie dalle proporzioni fortemente armoniche.
Molte macchine fotografiche hanno uno schema o un set di rapporti aurei che calcolano in base all’obiettivo, grazie alla semplicissima Sequenza di Fibonacci.
Queste macchine mostrano sul display una griglia apposita per individuare la regola dei terzi. Ma alcune macchine hanno addirittura delle preselezioni che rendono visibile lo schema durante lo scatto, così da riuscire a dare già nella ripresa il giusto angolo ai soggetti. Questi schemi giocano sull’architetturale per le grandi proporzioni, per il ritratto sui visi, per i gruppi e per la macrofotografia.
Anche il formato video al cinema o quello dei monitor e display, pur essendo misurato in pollici o pixel, si avvicina molto alla stessa proporzione; 1024 : 640 = 1,6 ; 1280 : 800 = 1,6 ; 1440 : 900 = 1,6 ; 1680 : 1050 = 1,6 ; 4 : 3 = 1,3 (ma qui la proporzione è in linee orizzontali e verticali) e, come per il formato 16 : 9 [1,777] e il formato 24×36 della pellicola 35mm [1,5], ricorre la regola dei terzi sempre basata su un rettangolo aureo. Divertitevi pure a verificare.
La sezione aurea nel web design
Io stesso devo confessare di averla usata per anni, in ambito di interfacce grafiche quando realizzavo sistemi gestionali. Quando le proporzioni utilizzate erano quelle del rapporto aureo e non quelle del righello, l’interfaccia si dimostrava sempre più intuitiva per l’utente che la doveva utilizzare. Era anche più semplice da progettare. Un peccato veramente che non esista un righello aureo o delle predisposizioni nei moduli dei sistemi informatici, sarebbe stato di grande aiuto.
Le proporzioni della sezione aurea sono largamente utilizzate anche nella costruzione dei layout dei siti web.
Ad esempio si segue molto spesso il rapporto 1,618:1 tra la colonna dei contenuti e la sidebar (la barra laterale di un sito).
Qui un esempio di come può essere trovata una giusta proporzione all’interno di un sito web:
In qualsiasi momento, se avete una larghezza totale di un layout potete utilizzare la formula scritta nell’immagine qui sopra per ricavare le proporzioni auree.
Del resto la Sequenza di Fibonacci è una formula numerica, quindi un architetto di design, un ingegnere di ogni ramo, un fotografo, un’applicazione grafica, un layout applicativo e qualunque forma o branca della scienza, che ragioni sui numeri, troverebbe nella proporzione aurea la formula perfetta per elaborare una regola di perfezione applicata.
Come dicevo poco sopra, io stesso disegnando software ho spesso applicato queste regole alle interfacce degli applicativi che costruivo, ma con grande sorpresa sono riuscito anche ad applicarla a formule insospettabili…
La sequenza di fibonacci applicata alla scienza
In questo mondo, l’insospettabile Sequenza di Fibonacci, viene applicata ad una gamma talmente ampia di realtà quotidiane, che questo articolo potrebbe essere così lungo da farvi desistere nella lettura. Per cui vediamo solo alcune applicazioni ancora nell’ambito della scienza e spero con gli articoli correlati sparsi in questo testo dare la possibilità di approfondire a chi vorrà saperne di più.
1. Matematica pura e Informatica (Oltre i decimali)
I matematici non cercano schemi ripetitivi nei suoi decimali (essendo \phi un numero irrazionale algebrico, i decimali sono infiniti e aperiodici), ma studiano le sue proprietà strutturali uniche:
- Il numero più irrazionale del mondo: Secondo il Teorema di Hurwitz, \phi è il numero più difficile da approssimare con delle frazioni. Si esprime come la frazione continua più semplice in assoluto:
\phi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots }}}
- Teoria dei grafi e algoritmi: In informatica, i Fibonacci heaps sono strutture dati utilizzate negli algoritmi di ottimizzazione dei network (come il calcolo dei percorsi minimi nei navigatori). I tempi di esecuzione di queste strutture sono legati matematicamente a potenze di \phi.
2. Economia e Mercati Finanziari
In economia e nel trading finanziario, \phi non è una formula magica per prevedere il futuro, ma è la base di indicatori statistici usati per analizzare il comportamento psicologico dei mercati:
- Ritracciamenti di Fibonacci: Nell’analisi tecnica dei mercati finanziari, i movimenti di prezzo tendono a rimbalzare o a invertire la rotta in corrispondenza di percentuali derivate dal rapporto aureo (principalmente il 38,2%, il 50% e il 61,8%).
- Teoria delle Onde di Elliott: Questa teoria ipotizza che i mercati si muovano seguendo cicli ripetitivi (onde) che riflettono la psicologia di massa. La durata e l’ampiezza di queste onde sono modellate matematicamente attraverso la successione di Fibonacci e il rapporto aureo.
3. Agraria e Botanica Quantitativa (Fillotassi)
In agraria la sezione aurea non si usa per “curare le piante”, ma per massimizzare la resa energetica delle colture attraverso lo studio della fillotassi (la disposizione delle foglie e dei semi).
- Formula dell’angolo aureo: La disposizione ottimale delle foglie su un fusto per evitare che si facciano ombra a vicenda segue l’angolo aureo, calcolato come:
\theta =\frac{360^{\circ }}{\phi ^{2}}\approx 137,5^{\circ }
- Ottimizzazione spaziale: I modelli matematici agrari usano questo angolo per simulare la massima efficienza di intercettazione della luce solare e l’assorbimento della pioggia, influenzando il modo in cui oggi vengono progettati i moderni impianti serricoli o i pannelli solari a disposizione “botanica”.
4. Fisica Moderna e Meccanica Quantistica
Negli ultimi decenni, la fisica d’avanguardia ha trovato \phi in sistemi non microscopici e microscopici:
- Quasicristalli: Scoperti da Dan Shechtman (Premio Nobel per la Chimica nel 2011), sono strutture solide con una simmetria atomica a lungo raggio che era ritenuta impossibile. La loro struttura geometrica non periodica è regolata interamente dal numero aureo.
- Transizioni di fase quantistiche: Nel 2010, ricercatori del Helmholtz-Zentrum Berlin hanno dimostrato che a livello quantistico, applicando un campo magnetico a catene di atomi di cobalto, gli spin entrano in uno stato di risonanza dove le masse dei legami quantistici mostrano un rapporto pari esattamente a \phi (la sezione aurea del mondo quantistico).
Il verdetto della scienza: Mito vs Realtà
I matematici e gli scienziati rifiutano il “misticismo” (l’idea che \phi sia il codice segreto di Dio per l’universo), ma ne riconoscono l’estrema importanza strutturale.
Il numero aureo emerge continuamente nella scienza non per magia, ma perché è la soluzione matematica spontanea a problemi di efficienza energetica, stabilità geometrica e minimizzazione dello spazio.
Per concludere in bellezza
Diciamo che fino a qui abbiamo già tanto materiale per valutare la Sequenza di Fibonacci, ma esiste una parte assolutamente impensabile che si rifà ai sentimenti… siamo abbastanza curiosi per esplorare l’equazione della felicità in disteso – concentrazione – equazione della felicità
Views: 141
Pingback: (In corso:) Con urgenza, identità digitale cercasi!
Pingback: Contro la regola dei terzi
Pingback: disteso - concentrazione - equazione della felicità